El juego del caos

(Michael F. Barnsley)

Dados tres puntos cualesquiera del plano, P₁, P₂ y P₃, elegimos otro punto X₀ arbitrariamente, al que llamaremos punto del juego. Lanzamos un dado y si sale un 1 o un 4, hallaremos el punto medio del segmento de extremos P₁ y X₀, al que denominaremos X₁ y tomaremos como nuevo punto del juego. Si al lanzar el dado sale un 2 o un 5 elegiremos el punto P₂ y realizaremos la misma operación y si sale un 3 o un 6 el punto elegido como extremo del segmento cuyo punto medio hemos de calcular será el P₃.

Reiterando el proceso una y otra vez, habremos hallado una sucesión de puntos del juego, X₀, X₁, X₂ ..., X_n, ... que, en principio, dado el modo de obtenerlos, tendrían una distribución aleatoria, pero lo cierto es que esos puntos se distribuyen de una manera muy especial formando un triángulo de Sierpinski que toma como vértices los puntos P₁, P₂ y P₃.

Vamos a construir un ejemplo