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Thomas Robert Malthus (1766 – 1834) formuló por primera vez en 1798 su famosa teoría de que «la población crece en progresión geométrica mientras que los recursos necesarios para la supervivencia crecen en progresión aritmética», de modo que, a falta de circunstancias que obstaculicen el crecimiento demográfico, como guerras, pestes u otras calamidades, las poblaciones se encaminan hacia el hambre y la pobreza. Esta teoría, en honor a su autor, se conoce desde el siglo XIX con el nombre de malthusianismo. |
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Pierre-François Verhulst (1804 – 1849) también se dedicó al estudio de la demografía, con un primer trabajo sobre el tema, publicado en 1838 y posteriores desarrollos dados a conocer en 1844 y 1845. Verhulst consideraba que la teoría del crecimiento exponencial malthusiano se verificaba en el caso de los Estados Unidos de América debido a que en él concurrían circunstancias excepcionales: un territorio fértil, considerablemente extenso, en el que se instala un pueblo proveniente de una civilización avanzada —lógicamente, se refiere a los Estados Unidos de los siglos XVIII y XIX. Sin embargo, en la misma época, no hay ningún ejemplo similar en Europa. La tesis de Verhulst es que las poblaciones, en su origen, pueden tener un crecimiento exponencial, pero hay un momento en el que se alcanza un punto de inflexión a partir del cual el crecimiento se ralentiza progresivamente. Así es como obtuvo la función logística, a la que a veces se denomina función de Verhulst, función cuya gráfica tiene forma de 'S'. |
El modelo matemático propuesto por Verhulst supone que el crecimiento de la población dependerá de dos factores: uno, la propia población ya que ésta crece por su capacidad reproductora y dos, un término que hace que el crecimiento de la población provoque la ralentización del mismo; si lo que estamos considerando es la población en un entorno concreto y definido, debemos suponer que hay un valor máximo para la población en ese entorno por encima del cual dejarían de cumplirse las condiciones normales de supervivencia, de modo que cuanto más se aproxime la población a ese máximo, más lento debe ser el crecimiento. Expresado como una ecuación diferencial tendríamos
donde P representa la población, M su valor máximo y k una constante relacionada con la tasa de crecimiento. Cuando P toma valores pequeños, P ≪ M, el término más significativo es el primer factor y el crecimiento será exponencial; pero cuando P acerca su valor a M, el segundo factor tenderá a cero.
Si integramos la ecuación diferencial obtendremos la función logística:
Es fácil comprobar que cuando t se hace muy grande, P(t) tiende a M, tal como propone el modelo matemático de partida.
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Si representamos gráficamente la función con los siguientes valores: |